ユークリッドの幾何学原理 第一巻 定理18
任意の三角形において、より長い辺がより大きな角に対する。
辺ABより長い辺ACをもつ三角形があると仮定しよう。
私はいう、角ABCもまた、角BCAよりも大きいと。
辺ACが、辺ABよりも長いときに、辺ADと辺ABとを等しく置こう。そして、辺BDが結ばれるとする。
* 角ADBは、三角形 BCDの外角であるから、内角かつ対角である角 DCBよりも大きい。
しかるに、角ADBは、角ABDに等しい。辺ABもまた、辺ADに等しいから。
ゆえに、角ABDもまた角ACBよりも大きい。
よって、角ABCもまた、角ACBよりもはるかに大きい。
任意の三角形において、より長い辺がより大きな角に対する。
このことが証明されねばならぬことであった。
三角形の性質など忘れてしまっているので、この箇所だけが自明ではなかった。
上の外角の定理という説明をみると、理解できた。
外角は三角形の二つの内角の和に等しいから、二つのうちの一つの角度よりも当然大きいことになる。
の末尾に原論のテキストへのリンクがあります。
ギリシャ語、ラテン語訳、英訳。
英語版のリンクの方が多数あるので注意。
ギリシャ語原文と上記Richard Fitzpatrick 訳英訳の対訳版PDFがダウンロードできます。Proposition 18が本問に相当します。
この英訳を参考にしました。
Proposition 18
In any triangle, the greater side subtends the greater angle.
For let ABC be a triangle having side AC greater than AB. I say that angle ABC is also greater than BCA.
For since AC is greater than AB, let AD be made equal to AB [Prop. 1.3], and let BD have been joined.
And since angle ADB is external to triangle BCD, it is greater than the internal and opposite (angle) DCB [Prop. 1.16]. But ADB (is) equal to ABD, since side AB is also equal to side AD [Prop. 1.5]. Thus, ABD is also greater than ACB. Thus, ABC is much greater than ACB.
Thus, in any triangle, the greater side subtends the greater angle. (Which is) the very thing it was required to show.
Proposition 18.
In any triangle the greater side subtends the greater angle.
For let ABC be a triangle having the side AC greater than AB;
I say that the angle ABC is also greater than the angle BCA.
For, since
AC is greater than
AB, let
AD be made equal to
AB [
I. 3], and let
BD bejoined.
Then, since the angle ADB is an exterior angle of the triangle BCD,
it is greater than the interior and opposite angle
DCB. [
I. 16]
But the angle ADB is equal to the angle ABD,
since the side AB is equal to AD; therefore the angle ABD is also greater than the angle ACB; therefore the angle ABC is much greater than the angle ACB.
Therefore etc.
Q. E. D.
英語版ウィキに一番最初にのっているリンクのこのジョイス訳には
ガイドという説明までのっていて、ギリシャ語の訳の異同の説明まであって親切。
Euclid (David E. Joyce, ed. 1997) [c. 300 BC].
Elements. Retrieved 2006-08-30. In HTML with Java-based interactive figures.
In any triangle the angle opposite the greater side is greater.
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Let ABC be a triangle having the side AC greater than AB.
I say that the angle ABC is also greater than the angle BCA.
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Since AC is greater than AB, make AD equal to AB, and join BD.
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Since the angle ADB is an exterior angle of the triangle BCD, therefore it is greater than the interior and opposite angle DCB.
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But the angle ADB equals the angle ABD, since the side AB equals AD, therefore the angle ABD is also greater than the angle ACB. Therefore the angle ABC is much greater than the angle ACB.
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Therefore in any triangle the angle opposite the greater side is greater.
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最後に日本語訳はないかとググってみました。
解説が見つかりました。
euc-elements.matrix.jp/
大阪高等学校数学教育会 研究セミナーに発表した 「ユークリッド原論をどう読むか」を WEBページとしたものである。 原論を逐条解説したもの
そうすれば
角ADBが
三角形BCDの外角である
から、
内対角DCBより大きい」
この箇所に説明があり、
とある。
ちゃんと原論に該当する説明がのっていたのだった:
「 すべての三角形において
辺の一つが延長される
とき、
外角は
内対角のいずれよりも大きい。